従業員の病気・ケガなどのトラブル

当社工場の期間工が、作業中に機械トラブルでケガを負いました。機械トラブルの原因は、どうやら、当社のメンテナンス不足にあるようです。この場合、当社はどのような責任を負いますか。

民事上の責任と刑事上の責任が考えられます。
民事上の責任としては、安全配慮義務違反を理由とする従業員からの損害賠償請求です。労災保険でもカヴァーできない損害については、その部分について損害賠償責任を負う可能性があるので注意が必要です。
刑事上の責任としては、労働安全衛生法違反（７年以下の懲役から３００万円の罰金まで、違反の内容に応じて罰則の定めがあります）と、刑法上の業務上過失傷害罪に問われる可能性があります。
ケガや従業員の健康被害を引き起こさないように、普段から、機械・設備のメンテナンスや、従業員の健康配慮には注意しておく必要があります。

上司のセクハラ・パワハラにより部下がうつ病になってしまった場合、会社の責任はどうなりますか。

セクハラやパワハラは、上司と部下という個人間の問題として片付けることのできるものではありません。会社が、セクハラやパワハラが起きないように適切な処置をとらなかった場合には、従業員が働きやすい職場環境が保たれるよう配慮する義務（職場環境調整義務）違反を理由に、会社も使用者責任等を理由に損害賠償責任を負う可能性があります。
特に、セクハラについては、厚生労働省において、事業主が雇用管理上講ずべき措置についての指針（平成１８年厚生労働省告示第６１５号/詳しくは、下記ＨＰアドレスをご覧下さい。）を定めておりますので、同指針に従ってセクハラ防止措置をとる（セクハラに対する懲戒規定を設け従業員に周知する、相談窓口を設ける等）ことが、会社として損害賠償責任を免れるためには最低限必要といえるでしょう。ただし、裁判例は、会社の免責には厳しく、指針で定めた措置を一応は履行していても、容易には免責を認めない傾向にあるようですので、指針を守ったから安心ということではなく、あくまで最低限の措置として認識しておくのが無難でしょう。

（セクハラについて事業主が雇用管理上講ずべき措置についての指針）
http://www.mhlw.go.jp/general/seido/koyou/danjokintou/dl/20000401-30-2.pdf

社員が痴漢行為で逮捕された場合は、会社としては、どう対処すればよいでしょうか。

痴漢行為をした事実が明らかであれば、就業規則上の解雇事由にあたるとして、解雇が可能な場合もあります。
しかし、痴漢として逮捕された事案のなかには、実際には痴漢行為をしていないにもかかわらず、逮捕勾留による長期の身柄拘束を恐れて、嘘の自白をしてしまうというような事例も存在します。また、痴漢と言っても、迷惑防止条例違反に該当する程度のものから強制わいせつ罪に該当し重い処分を受けるものなど事案によって様々です。
本人の言い分や事案の悪質性、終局的な刑事処分の軽重を勘案して、どのような懲戒処分が適当か決定する必要があるでしょう。